O Problema de Monty-Hall

O problema de Monty Hall ou paradoxo de Monty Hall é um problema matemático e paradoxo que surgiu a partir de um concurso televisivo dos Estados Unidos da América chamado Let’s Make a Deal, exibido na década de 1970.

O jogo consiste no seguinte: Monty Hall (o apresentador) apresentava 3 portas aos concorrentes, sabendo que atrás de uma delas está um carro (prémio bom) e que as outras têm prêmios de pouco valor.


Na 1ª etapa o concorrente escolhe uma porta (que ainda não é aberta);
De seguida Monty abre uma das outras duas portas que o concorrente não escolheu, sabendo à partida que o carro não se encontra aí;
Agora com duas portas apenas para escolher -- pois uma delas já se viu, na 2ª etapa, que não tinha o prêmio -- e sabendo que o carro está atrás de uma delas, o concorrente tem que se decidir se permanece com a porta que escolheu no início do jogo e abre-a ou se muda para a outra porta que ainda está fechada para então a abrir.
Qual é a estratégia mais lógica? Ficar com a porta escolhida inicialmente ou mudar de porta? Com qual das duas portas ainda fechadas o concorrente tem mais probabilidades de ganhar? Porquê?

solução do problema
Uma primeira análise poderia levar a pensar que não, porque nas duas restantes portas a probabilidade de se ganhar o carro, tendo sido eliminada uma das portas, seria de 50 % para cada uma das duas restantes. Parece inútil trocar.

Mas a realidade é que trocar de porta duplica a probabilidade de ganhar o carro ! Com efeito, à partida, as probabilidades de se ganhar o carro na porta escolhida e nas duas restantes portas são 1/3 e 2/3, respectivamente. Mas não se sabe qual das duas portas não escolhidas conterá o carro e apenas se pode escolher uma única porta.

Ao ser revelado o conteúdo de uma destas duas portas, a probabilidade do prémio estar contido em ambas mantém-se igualmente em 2/3 mas agora sabe-se que a probabilidade de estar na porta revelada é igual a 0. Logo, estes 2/3 de hipótese de ganho estarão contidos integralmente na porta por abrir, que o concorrente não escolheu à partida mas que pode escolher se optar por trocar a sua opção inicial. A conclusão a tirar é que vale a pena trocar de porta porque assim se duplica a probabilidade inicial de ganhar o carro !

Este problema, por ser pouco intuitivo para a maior parte das pessoas, confundiu muita gente, inclusivamente ilustres matemáticos, na altura em que foi colocado (excepto a mulher com o maior QI do mundo, que o resolveu à primeira). É um facto que muitos deles apenas ficaram convencidos da solução após executarem uma simulação em computador para verificarem experimentalmente os referidos 2/3 de probabilidade.