Sobre o livro de Malba Tahan " O Homem Que Sabia Contar "

O homem que calculava

Baseado no livro de Malba Tahan " O Homem Que Sabia Contar "

O Método Proporcional de Hondt

Victor D'Hondt nasceu a, 20 de Novembro de 1841 em Ghent e faleceu a 30 de Maio de 1901 na mesma cidade, tendo sido jurista e professor de Direito Civil e de Direito Fiscal na Universidade de Ghent.
O Método de Hondt foi aplicado pela primeira vez nas eleições parlamentares de 1900, na Bélgica e é hoje um dos mais utilizados em sistemas eleitorais de todo o mundo, incluindo no sistema eleitoral português (excepto na eleição do Presidente da República onde se utiliza o sistema maioritário a duas voltas)

O algoritmo do Método de Hondt:
1º Passo - Apura-se, em separado, o número de votos recebidos por cada lista, no respectivo círculo eleitoral (não contando os votos nulos ou brancos)

2º Passo - O número de votos apurado por cada lista é dividido sucessivamente por 1,2,3,4,5,etc. até ao numero de mandatos a atribuir (se necessário) sendo os quocientes ordenados por ordem crescente da sua grandeza, numa sequência de tantos termos quantos os mandatos atribuídos ao respectivo círculo eleitoral

3º Passo - Os mandatos pertencem às listas a que correspondem os termos da sequência estabelecida no passo anterior, recebendo cada uma das listas quantos mandatos quantos os seus termos na sequência

4º Passo - No caso de restar um só mandato para atribuir e de os termos seguintes da sequência serem iguais e pertencerem a listas diferentes, o mandato cabe à lista que tiver obtido o menor número de votos.

Aplicações do Método de Hondt

1. Nas eleições legislativas de 2009, os resultados obtidos por cada um dos partidos concorrentes no distrito de Castelo da Rainha foram os seguintes:
Os Reis - 3648
As Damas - 10336
Os Valetes - 2432
As Manilhas - 7904
Os Ases - 6080
O número de mandatos em disputa era 10. Utilizando o Método de Hondt calcule o número de mandatos obtido por cada partido.

2. Num dado concelho concorreram cinco (5) listas, que vamos designar pelas letras A, B, C, D e E. Não me foi dito qual a lista que ganhou.
- O total de votos obtidos pelas listas foi 26773.
- A lista C obteve mais 2561 que a lista D e mais 4072 que a lista E; a mesma lista obteve menos 5104 que a lista B e menos 1722 que a lista A.
a) Quem ganhou as eleições? Com que tipo de maioria?
b) Qual foi a votação de cada uma das listas?
c) Sabendo que estavam em jogo 13 mandatos, faça a distribuição desses mesmos mandatos pelas listas concorrentes.Utilize o Método de Hondt.

Normal Distribution P(X less than x)

Normal Distribution : P(more than x) where x is less than the mean

Distribuição de probabilidades - Exercícios

Distribuição Binomial
1. A probabilidade de os doentes não recuperarem de uma determinada doença é 0,6. Escolhidos ao acaso 15 pessoas com a referida doença, determine a probabilidade de sobreviverem:
a) exactamente 5 pessoas;
b) pelo menos 10 pessoas;
c) entre 3 e 5 pessoas (inclusivé).

Distribuição de Poisson
2. O número de pedidos de ambulância que chegam, por dia, a determinado posto de socorros, é em média de 2. Calcule a probabilidade de que:
a) Num dia, haja pelo menos um pedido;
b) Num dia haja pelo menos um pedido, sabendo que no dia anterior não se registou nenhum;
c) Num dia haja dois pedidos e no dia seguinte também se verifiquem dois pedidos.

3. Admite-se com frequência que o número de acidentes ocorridos em fábricas obedece a uma distribuição de Poisson. Suponha que numa determinada fábrica os acidentes ocorrem segundo uma taxa média de 0,5 por semana. Se X representar o número de acidentes a ocorrer nas próximas semanas 6 semanas, qual o número esperado de acidentes e qual a probabilidade de ocorrer no máximo 3 acidentes?

Aproximação da Binomial à Poisson
[Nota:Regra prática -> Em geral, a distribuição de Poisson fornece uma boa aproximação da distribuição binomial quando n > 20 e p ≤ 0.05]
4. Uma companhia de seguros possui 10000 apólices no ramo vida referente a acidentes de trabalho. Sabe-se que, por ano, a probabilidade de determinado indivíduo morrer de acidente de trabalho éde 0.0001.
Qual a probabilidade de a companhia ter de pagar por ano a pelo menos 4 dos seus segurados?

(Nota: aconselha-se a consulta de páginas anteriores sobre estes conteúdos)

Exercícios de Distribuição Normal

1. Os pesos das mulheres americanas têm distribuição normal com valor esperado 63,6 kg e desvio-padrão igual a 2,5 kg. Seleccionada aleatoriamente uma mulher, determine:
a) a probabilidade de o seu peso estar entre 63,6 e 68,6 kg ;
b) P(63,6 < x <65,0);
c) P(x > 58,1).

2. Os prazos de substituição de aparelhos de TV têm distribuição normal com média igual a 8,2 anos e desvio padrão 1,1 ano. Determine a probabilidade de um aparelho de TV seleccionado aleatoriamente acusar um tempo de substituição:
a) inferior a 7,0 anos;
b) superior a 9,0 anos.

3. Supondo que os pesos do papel descartado semanalmente pelas residências tenham
distribuição normal com média de 9,4 kg e desvio padrão de 4,2 kg. Determine a
probabilidade de escolher aleatoriamente uma residência que descarte entre 5,0 kg e 8,0 kg de papel em uma semana.

4. Os prazos da gravidez têm distribuição normal com média de 268 dias e desvio padrão de 15 dias. Com base nessa informação, determine a probabilidade de uma gravidez durar 308 dias ou mais. Que é que o resultado sugere?

5. Os coeficientes de QI têm distribuição normal com média 100 e desvio padrão 15. A
admissão na empresa X exige um QI superior a 131,5.
a) escolhida aleatoriamente uma pessoa, determine a probabilidade dela satisfazer aquela exigência da empresa;
b) numa região de 70.000 habitantes, quantos serão candidatos a uma vaga na empresa?

6. Os níveis de colesterol em homens entre 18 e 24 anos de idade têm distribuição normal com média de 178,1 e desvio padrão de 40,7. Escolhido aleatoriamente um homem entre 18 e 24 anos de idade, determine a probabilidade de seu nível de colesterol estar entre 200 e 250.

7. O corpo de fuzileiro navais da Marinha dos EUA exige homens com peso entre 64 e 78
kg. Determine a percentagem dos homens que satisfazem essa exigência. Considere que os pesos dos homens têm distribuição normal com média de 69,0 kg e desvio padrão 2,8 kg.

8. Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3 kg e desvio padrão 5,5 kg. Determine o número de estudantes que pesam:
a) entre 60 e 70 kg;
b) mais que 63,2 kg;
c) menos que 68 kg.

9. Sabe-se que a variável X tem distribuição normal, com os seguintes parâmetros: média=30 e variância=16.
Qual é a probabilidade de encontrarmos X > 40?

10. Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que ele obedecia a uma distribuição normal com média igual a 48.000 Km e desvio padrão de 2.000 Km. Calcule a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso:
a) durar mais que 46.000 Km;
b) durar entre 45.000 e 50.000 Km.